Question

（理）已知函數f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且對任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（I）求b．
（II）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上為單調函數，求實數a的取值范圍．
（III）討論函數h（x）=ln（1+x²）-

1

2

f（x）-k的零點個數？

Answer 1

分析：（I）根據對任意x∈R，有f（-x）=f（x）建立等式關系，即可求出b的值；
（II）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上為單調函數，求導函數，g′(x)=2x+2+

a

x

(x＞0)，則2x+2+

a

x

≥0或2x+2+

a

x

≤0在（0，1）上恒成立，然后將a分離出來，研究不等式另一側的最值即可求出a的范圍；
3）令y=ln(1+x2)-

1

2

x2+1，研究該函數的單調性和極值，結合圖形可判斷函數h(x)=ln(1+x2)-

1

2

f(x)-k的零點個數．

解答：解：（I）∵f（-x）=f（x）
∴（-x）²+bsin（-x）-2=x²+bsinx-2
∴b=0． 
（II）∵g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx
∴g′(x)=2x+2+

a

x

(x＞0)
依題意，2x+2+

a

x

≥0或2x+2+

a

x

≤0在（0，1）上恒成立
即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立
由a≥-2x2-2x=-2(x+

1

2

)2+

1

2

在（0，1）上恒成立，可知a≥0．
由a≤-2x2-2x=-2(x+

1

2

)2+

1

2

在（0，1）上恒成立，可知a≤-4，
所以a≥0或a≤-4
（III）h(x)=ln(1+x2)-

1

2

x2+1-k，
令y=ln(1+x2)-

1

2

x2+1．
所以y′=

2x

1+x2

-x=-

(x+1)x(x-1)

x2+1

令y'=0，則x₁=-1，x₂=0，x₃=1，列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
y′	+	0	-	0	+	0	-
h（x）	單調遞增	極大值 ln2+ 1 2	單調遞減	極小值1	單調遞增	極大值 ln2+ 1 2	單調遞減

所以當k＞ln2+

1

2

時，函數無零點；
當k＜1或k=ln2+

1

2

時，函數有兩個零點；
當k=1時，函數有三個零點．
當1＜k＜ln2+

1

2

時，函數有四個零點．

點評：本題以函數為載體，考查函數的性質，考查函數恒成立問題，考查函數的零點以及利用導數研究函數的最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．