Question

以下正確命題的個數為（　�。�
①命題“存在x₀∈R，2^x0≤0”的否定是：“不存在x₀∈R，2^x0＞0”；
②函數f（x）=x

1

3

-（

1

4

）^x的零點在區(qū)間（

1

4

，

1

3

）內；
③若函數f（x）滿足f（1）=1且f（x+1）=2f（x），則f（1）+f（2）+…+f（10）=1023；
④函數f（x）=e^-x-e^x切線斜率的最大值是2．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①命題“存在x₀∈R”的否定是：“?x₀∈R”，“2^x0≤0”的否定是“2^x0＞0”，由此能求出結果；
②由f（x）=x

1

3

-（

1

4

）^x，知f（

1

4

）•f（

1

3

）＜0，故函數f（x）=x

1

3

-（

1

4

）^x的零點在區(qū)間（

1

4

，

1

3

）內；
③由f（x）滿足f（1）=1且f（x+1）=2f（x），知f（1）+f（2）+…+f（10）=1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁹，由等比數列前10項和公式能求出結果．
④先求出曲線對應函數的導數，由基本不等式求出導數的最大值，即得到曲線斜率的最大值．

解答：解：①命題“存在x₀∈R，2^x0≤0”的否定是：“?x₀∈R，2^x0＞0”，故①不正確；
②∵f（x）=x

1

3

-（

1

4

）^x，
∴f（

1

4

）=(

1

4

)

1

3

-（

1

4

） 

1

4

＜0，
f（

1

3

）=（

1

3

） 

1

3

-（

1

4

） 

1

3

＞0，
∴函數f（x）=x

1

3

-（

1

4

）^x的零點在區(qū)間（

1

4

，

1

3

）內，故②正確；
③∵f（x）滿足f（1）=1且f（x+1）=2f（x），
∴f（2）=2f（1）=2，
f（3）=2f（2）=2²，
f（4）=2f（3）=2³，
f（5）=2f（4）=2⁴，
…
f（10）=2f（9）=2⁹，
∴f（1）+f（2）+…+f（10）
=1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁹
=

1×(1-210)

1-2

=1023，故③正確；
④∵f（x）=e^-x-e^x，∴f'（x）=-e^x-

1

ex

，
∴函數f（x）=e^-x-e^x切線斜率k=f'（x）=-e^x-

1

ex

=-（e^x+

1

ex

）≤-2

ex• 1 ex

=-2，
當且僅當e^x=

1

ex

 時，等號成立．
∴函數f'（x）=-e^x-

1

ex

，的切線斜率的最大值為-2．故④不正確．
故選B．

點評：本題考查命題的否定、函數的零點、等比數列、曲線的切線斜率與對應的函數的導數的關系，以及基本不等式的應用，體現了轉化的數學思想．屬于中檔題．