Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根為S_n-1，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂；
（2）猜想數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式，并給出嚴(yán)格的證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，x²-a₁x-a₁=0有一根為a₁根據(jù)根的定義，可求得a₁，同理，當(dāng)n=2時(shí)，也可求得a₂；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題時(shí)分為兩個(gè)步驟，第一步，先證明當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，已知結(jié)論成立，第二步，先假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)結(jié)合題設(shè)條件證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，x²-a₁x-a₁=0有一根為S₁-1=a₁-1，
于是（a₁-1）²-a₁（a₁-1）-a₁=0，解得a₁=．
當(dāng)n=2時(shí)，x²-a₂x-a₂=0有一根為S₂-1=a₂-，
于是（a₂-）²-a₂（a₂-）-a₂=0，
解得a₂=．
（2）由題設(shè)（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0，
S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式得S_n-1S_n-2S_n+1=0．①
由（1）得S₁=a₁=，S₂=a₁+a₂=+=．
由①可得S₃=．由此猜想S_n=，n=1，2，3，．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．
（i）n=1時(shí)已知結(jié)論成立．
（ii）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即S_k=，當(dāng)n=k+1時(shí)，由①得S_k+1=，即S_k+1=，故n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．
綜上，由（i）、（ii）可知S_n=對(duì)所有正整數(shù)n都成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：
設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n）成立（奠基）
2°假設(shè)P（k）成立（k≥n），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對(duì)一切大于等于n的自然數(shù)n都成立