Question

已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2

3

，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-1，0）和（1，0），
（1）求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如果直線y=x+m與這個(gè)橢圓交于不同的兩點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由題分析出橢圓的焦點(diǎn)在X軸上且2b=2

3

，c=1；求出a，b即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，整理為關(guān)于的一元二次方程；再結(jié)合直線y=x+m與這個(gè)橢圓交于不同的兩點(diǎn)知道對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，判別式大于0即可求出m的取值范圍．

解答：解：（1）由題得橢圓的焦點(diǎn)在X軸上且2b=2

3

，c=1
∴b=

3

，a²=b²+c²=4．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由

y=x+m x2 4 + y2 3 =1

消去Y整理得：7x²+8mx+4m²-12=0．
由直線y=x+m與這個(gè)橢圓交于不同的兩點(diǎn)得△=（8m）²-4×7×（4m²-12）＞0⇒m²＜7⇒-

7

＜m＜

7

．
所以m的取值范圍是（-

7

，

7

）．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法．在求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，一定要先判斷焦點(diǎn)所在位置，避免出錯(cuò)．