Question

某學(xué)校舉行聯(lián)歡會(huì)，所有參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專業(yè)老師投票決定是否獲獎(jiǎng)，甲、乙、丙三名老師都有“獲獎(jiǎng)”“待定”“淘汰”三類票各一張，每個(gè)節(jié)目投票時(shí)，甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類票的概率為

1

3

，且三人投票相互沒(méi)有影響，若投票結(jié)果中至少有兩張“獲獎(jiǎng)”票，則決定該節(jié)目最終獲一等獎(jiǎng)；否則，該節(jié)目不能獲一等獎(jiǎng)．
（1）求某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎(jiǎng)的概率；
（2）求該節(jié)目投票結(jié)果中所含“獲獎(jiǎng)”和“待定”票票數(shù)之和X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)“某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎(jiǎng)”為事件A，則事件A包含該節(jié)目可以獲2張“獲獎(jiǎng)票”或該節(jié)目可以獲3張“獲獎(jiǎng)票”，由此能求出某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎(jiǎng)的概率．
（2）所含“獲獎(jiǎng)”和“待定”票數(shù)之和X的值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）設(shè)“某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎(jiǎng)”為事件A，
則事件A包含該節(jié)目可以獲2張“獲獎(jiǎng)票”或該節(jié)目可以獲3張“獲獎(jiǎng)票”，
∵甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類票的概率為

1

3

，
且三人投票相互沒(méi)有影響，
∴某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎(jiǎng)的概率：
P（A）=

C

2 3

(

1

3

)2(

2

3

)+

C

3 3

(

1

3

)3=

7

27

．
（2）所含“獲獎(jiǎng)”和“待定”票數(shù)之和X的值為0，1，2，3，
P（X=0）=

C

0 3

(

1

3

)3=

1

27

，
P（X=1）=

C

1 3

(

2

3

)(

1

3

)2=

6

27

，
P（X=2）=

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)=

12

27

，
P（X=3）=

C

3 3

(

2

3

)3=

8

27

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 27	2 9	4 9	8 27

E（X）=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．