Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，面ABC⊥面BCD，△ABC是正三角形，∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（Ⅰ）求證：AB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角D-AB-C的大�。�
（Ⅲ）求異面直線(xiàn)AC與BD所成角的大�。�

Answer 1

分析：解法一：
（1）根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可得：CD⊥面ABC，所以DC⊥AB．
（2）由（Ⅰ）知CD⊥面ABC．二面角的度量關(guān)鍵在于找出它的平面角，構(gòu)造平面角常用的方法就是三垂線(xiàn)法．過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M，連接DM．所以∠CMD是二面角D-AB-C的平面角．
（3）求異面直線(xiàn)所成的角，一般有兩種方法，一種是幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認(rèn)定再計(jì)算”，即利用平移法和補(bǔ)形法將兩條異面直線(xiàn)轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，結(jié)合余弦定理來(lái)求．還有一種方法是向量法，即建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的代數(shù)法和幾何法求解．取三邊AB、AD、BC的中點(diǎn)M、N、O，連接AO、MO、NO、MN、OD，則OM∥AC，OM=

1

2

AC；MN∥BD，MN=

1

2

BD．
∴∠OMN是異面直線(xiàn)AC與BD所成的角或其補(bǔ)角．
解法二：
以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OM所在直線(xiàn)為x軸，OC所在直線(xiàn)為y軸，OA所在直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．這種解法的好處就是：（1）解題過(guò)程中較少用到空間幾何中判定線(xiàn)線(xiàn)、面面、線(xiàn)面相對(duì)位置的有關(guān)定理，因?yàn)檫@些可以用向量方法來(lái)解決．（2）即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因?yàn)橹恍璁?huà)個(gè)草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點(diǎn)的位置即可．
（1）設(shè)CD=1，則O（0，0，0），A(0，0，

3

2

)，B(0，-

3

2

，0)，C(0，

3

2

，0)，D(1，

3

2

，0)．故由

AB

•

CD

=0得：

AB

⊥

CD

，即AB⊥CD．
（2）由CD⊥平面ABC得，平面ABC的法向量為

CD

=(1，0，0)，設(shè)平面ABD的法向量為

n

=(x，y，z)，所以這兩個(gè)法向量的夾角的大�。ㄕ�值）即為二面角D-AB-C的大小；
（3）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

BD

=(1，

3

，0)，

AC

=(0，

3

2

，-

3

2

)，故異面直線(xiàn)AC和BD所成角的大小即為

BD

與

AC

的夾角的大�。�

解答：解法一：
（Ⅰ）證明：∵面ABC⊥面BCD，∠BCD=90°，且面ABC∩面BCD=BC，
∴CD⊥面ABC．（2分）
又∵AB?面ABC，
∴DC⊥AB．（4分）
（Ⅱ）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M，連接DM．

由（Ⅰ）知CD⊥面ABC．
∴CM是斜線(xiàn)DM在平面ABC內(nèi)的射影，
∴DM⊥AB．（三垂線(xiàn)定理）
∴∠CMD是二面角D-AB-C的平面角．（6分）
設(shè)CD=1，由∠BCD=90°，∠CBD=30°得BC=

3

，BD=2．
∵△ABC是正三角形，
∴CM=

3

2

•BC=

3

2

．
∴tan∠CMD=

CD

CM

=

2

3

．
∴∠CMD=arctan

2

3

．
∴二面角D-AB-C的大小為arctan

2

3

．（9分）
（Ⅲ）解：如圖，取三邊AB、AD、BC的中點(diǎn)M、N、O，
連接AO、MO、NO、MN、OD，
則OM∥AC，OM=

1

2

AC；MN∥BD，MN=

1

2

BD．
∴∠OMN是異面直線(xiàn)AC與BD所成的角或其補(bǔ)角．（11分）
∵△ABC是正三角形，且平面ABC⊥平面BCD，
∴AO⊥面BCD，△AOD是直角三角形，ON=

1

2

AD．
又∵CD⊥面ABC，故AD=

DC2+AC2

=2ON=2．
在△OMN中，OM=

3

2

，MN=1，ON=1．
∴cos∠OMN=

1 2 MO

MN

=

3

4

．
∴異面直線(xiàn)AC和BD所成角為arccos

3

4

．（14分）
解法二：
（Ⅰ）分別取BC、BD的中點(diǎn)O、M，連接AO、OM．
∵△ABC是正三角形，
∴AO⊥BC．
∵面ABC⊥面BCD，且面ABC∩面BCD=BC，
∴AO⊥平面BCD．
∵OM是△BCD的中位線(xiàn)，且CD⊥平面ABC，
∴OM⊥平面ABC．
以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OM所在直線(xiàn)為x軸，OC所
在直線(xiàn)為y軸，OA所在直線(xiàn)為z軸，建立空間
直角坐標(biāo)系．（2分）

設(shè)CD=1，則O（0，0，0），A(0，0，

3

2

)，B(0，-

3

2

，0)，C(0，

3

2

，0)，D(1，

3

2

，0)．
∴

AB

=(0，-

3

2

，-

3

2

)，

CD

=(1，0，0)．（4分）
∴

AB

•

CD

=0×1+(-

3

2

)×0+(-

3

2

)×0=0．
∴

AB

⊥

CD

，即AB⊥CD．（6分）
（Ⅱ）∵CD⊥平面ABC，
∴平面ABC的法向量為

CD

=(1，0，0)．（7分）
設(shè)平面ABD的法向量為

n

=(x，y，z)，
∴

AB

=(0，-

3

2

，-

3

2

)，

AD

=(1，

3

2

，-

3

2

)．
∴

n

•

AB

=0×x+(-

3

2

)×y+(-

3

2

)×z=0，
即

3

y+3z=0．

n

•

AD

=1×x+

3

2

×y+(-

3

2

)×z=0，
即2x+

3

y-3z=0．
∴令y=

3

，則x=-3，z=-1．
∴

n

=(-3，

3

，-1)．（9分）

∴cos＜

CD

，

n

＞=

CD • n

| CD |•| n |

=

-3×1+ 3 ×0+(-1)×0

(-3)2+( 3 )2+(-1)2 • 12+02+02

=-

3 13

13

．
∵二面角D-AB-C是銳角，
∴二面角D-AB-C的大小為arccos

3 13

13

．（11分）
（Ⅲ）∵

BD

=(1，

3

，0)，

AC

=(0，

3

2

，-

3

2

)，
∴cos＜

BD

，

AC

＞=

BD • AC

| BD |•| AC |

=

1×0+ 3 × 3 2 +0×(- 3 2 )

12+( 3 )2+02 • 02+( 3 2 )2+(- 3 2 )2

=

3

4

．
∴異面直線(xiàn)AC和BD所成角為arccos

3

4

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，二面角和線(xiàn)面關(guān)系等基本知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．