Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點B恰好是拋物線x²=4y的焦點，且離心率等于

2

2

，直線l與橢圓C交于M，N兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）橢圓C的右焦點F是否可以為△BMN的垂心？若可以，求出直線l的方程；若不可以，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由x²=4y，可得p=2，進而得其焦點，設(shè)橢圓C的方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由題意可得b，再根據(jù)離心率等于

2

2

，求出a，即可得出橢圓C的方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l，使得點F（1，0）是△BMN的垂心，可得直線BF的斜率，從而直線l的斜率為1．設(shè)直線的方程為y=x+m，與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用

NF

•

BM

=0，解得m的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）拋物線x²=4y中p=2，焦點（1，0）．
設(shè)橢圓C的方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由題意知b=1
又e=

c2 a2

=

a2-b2 a2

=

2

2

，即

1- 1 a2

=

2

2

，
∴a²=2，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1（4分）
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l使得F（1，0）是△BMN的垂心，則直線BF的斜率為-1，
從而直線l的斜率為1．
可設(shè)直線l的方程為y=x+m，代入

x2

2

+y2=1，
并整理得3x²+4mx+2（m²-1）=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=-

4

3

m，x1x2=

2(m2-1)

3

（6分）
∴

NF

•

BM

=(1-x2)x1-y2(y1-1)=x1+y2-x1x2-y1y2=x₁+x₂+m-x₁x₂-（x₁+m）（x₂+m）
=-2x1x2+(1-m)(x1+x2)+m-m2=-2×

2m2-2

3

+(1-m)(-

4m

3

)+m-m2=0，
解得m=1或m=-

4

3

．
當m=1時點B為直線l與橢圓的一個交點，不合題意；
當m=-

4

3

時，經(jīng)檢驗知直線l與橢圓相交兩點，且滿足BF⊥MN符合題意；
綜上得當且僅當直線l的方程為y=x-

4

3

時，橢圓C的右焦點F是可以為△BMN的垂心．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系．熟練掌握橢圓與拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、垂心的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等是解題的關(guān)鍵．