Question

已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)（1，0）為其右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
（Ⅱ）過點(diǎn)A的直線l與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P（不同于A，B），與橢圓在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)D．當(dāng)直線l繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可得a=2，c=1，由a²=b²+c²，求出b，進(jìn)而求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
（2）先設(shè)出直線l的方程，根據(jù)題意，表示出D、E的坐標(biāo)，從而求出以BD為直徑的圓的圓心和半徑，再將l的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到交點(diǎn)A、P的坐標(biāo)關(guān)系，因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)已知，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后分直線PF斜率存在和不存在兩種情況討論直線PF與以BD為直徑的圓的位置關(guān)系即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，半焦距為c，
因?yàn)锳（-2，0）、B（2，0）為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)（1，0）為其右焦點(diǎn)，
所以a=2，c=1．又因?yàn)閍²=b²+c²，所以b=

a2-c2

=

3

．
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，離心率為

1

2

．（5分）
（Ⅱ）以BD為直徑的圓與直線PF相切．
證明如下：
由題意可設(shè)直線l的方程為y=k（x+2）（k≠0），
則點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，4k），BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2k）．
由

y=k(x+2) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則-2x0=

16k2-12

3+4k2

．
所以x0=

6-8k2

3+4k2

，y0=k(x0+2)=

12k

3+4k2

．
因?yàn)辄c(diǎn)F坐標(biāo)為（1，0），
當(dāng)k=±

1

2

時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，±

3

2

)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，±2），
直線PF⊥x軸，此時(shí)以BD為直徑的圓（x-2）²+（y?1）²=1與直線PF相切．
當(dāng)k≠±

1

2

時(shí)，則直線PF的斜率kPF=

y0

x0-1

=

4k

1-4k2

．
所以直線PF的方程為y=

4k

1-4k2

(x-1)．
點(diǎn)E到直線PF的距離d=

| 8k 1-4k2 -2k- 4k 1-4k2 |

16k2 (1-4k2)2 +1

=

| 2k+8k3 1-4k2 |

1+4k2 |1-4k2|

=2|k|．
又因?yàn)閨BD|=4|k|所以d=

1

2

|BD|．
故以BD為直徑的圓與直線PF相切．
綜上得，當(dāng)直線l繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，以BD為直徑的圓與直線PF相切．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、直線與橢圓的位置關(guān)系及直線與圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意運(yùn)用方程思想、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力與運(yùn)算技巧．