Question

設正項數列{a_n}的前項和為S_n，q為非零常數．已知對任意正整數n，m，當n＞m時，S_n-S_m=q^m•S_n-m總成立．
（1）求證數列{a_n}是等比數列； 
（2）若正整數n，m，k成等差數列，求證：+≥．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為對任意正整數n，m，當n＞m時，S_n-S_m=q^m•S_n-m總成立．所以當n≥2時：S_n-S_n-1=q^n-1S₁，由此能夠證明{a_n}是等比數列． 
（2）若q=1，則S_n=na₁，S_m=ma₁，S_k=ka₁．所以≥．若q≠1，則，，．所以≥．由此能夠證明+≥．
解答：證明：（1）因為對任意正整數n，m，
當n＞m時，S_n-S_m=q^m•S_n-m總成立．
所以當n≥2時：S_n-S_n-1=q^n-1S₁，
即a_n=a₁•q^n-1，且a₁也適合，又a_n＞0，
故當n≥2時：（非零常數），
即{a_n}是等比數列．  …（6分）
（2）若q=1，則S_n=na₁，S_m=ma₁，S_k=ka₁．
所以≥．    …（8分）
若q≠1，則，，．  …（10分）
所以≥．          …（12分）
又因為（1-qⁿ）（1-q^k）=1-（qⁿ+q^k）+q^n+k
≤．
所以≥≥．
綜上可知：若正整數n，m，k成等差數列，
不等式 +≥總成立．
（當且僅當n=m=k時取“=”）  …（16分）
點評：本題考查數列的遞推公式的應用，綜合性強，難度大，容易出錯．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．