Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$=1，且|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|（k＞0），令f（k）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（Ⅰ）求f（k）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$（用k表示）；
（Ⅱ）若f（k）≥x²-2tx-$\frac{1}{2}$對(duì)任意k＞0，任意t∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=1$，對(duì)$|k\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}-k\overrightarrow|$兩邊平方即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值，從而得出$f（k）=\frac{{k}^{2}+1}{4k}$；
（Ⅱ）先根據(jù)基本不等式求出k=1時(shí)，f（k）取最小值$\frac{1}{2}$，這樣根據(jù)條件即可得到$\frac{1}{2}≥{x}^{2}-2tx-\frac{1}{2}$對(duì)任意的t∈[-1，1]恒成立，即得到g（t）=2xt-x²+1≥0對(duì)任意的t∈[-1，1]恒成立，從而得到$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（-1）≥0}\end{array}\right.$，這樣即可解出x的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)得${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow}^{2}=1$，對(duì)$|k\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}-k\overrightarrow|$兩邊平方得：
${k}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}+2k\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=3（{\overrightarrow{a}}^{2}-2k\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{k}^{2}{\overrightarrow}^{2}）$；
∴${k}^{2}+2k\overrightarrow{a}•\overrightarrow+1=3-6k\overrightarrow{a}•\overrightarrow+3{k}^{2}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{{k}^{2}+1}{4k}$；
∴$f（k）=\frac{{k}^{2}+1}{4k}（k＞0）$；
（Ⅱ）$f（k）=\frac{{k}^{2}+1}{4k}=\frac{k}{4}+\frac{1}{4k}≥2\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取“=”；
∵f（k）≥x²-2tx-$\frac{1}{2}$對(duì)任意的k＞0，t∈[-1，1]恒成立；
∴$\frac{1}{2}$≥x²-2tx-$\frac{1}{2}$；
即g（t）=2xt-x²+1≥0在[-1，1]上恒成立，而g（t）在[-1，1]上為單調(diào)函數(shù)或常函數(shù)；
$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=2x-{x}^{2}+1≥0}\\{g（-1）=-2x-{x}^{2}+1≥0}\end{array}\right.$；
解得1-$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{2}$-1；
故實(shí)數(shù)x的取值范圍為[1-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-1]．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，基本不等式在求最值時(shí)的應(yīng)用，清楚單調(diào)函數(shù)或常數(shù)函數(shù)g（t）≥0在t∈[-1，1]上恒成立時(shí)，等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（-1）≥0}\end{array}\right.$成立．