Question

（2010•煙臺(tái)一模）已知x∈R，ω＞0，

u

=(

1

2

，sin(

1

2

ωx+

π

2

))，

v

=(cosωx，

3

sin

1

2

ωx），函數(shù)f（x）=1+

u

•

v

的最小正周期為

π

2

．
（1）求ω的值．
（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，

π

8

]上的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依據(jù)題意，有f(x)=1+

u

•

v

=1+(

1

2

，sin(

π

2

+

1

2

ωx))•(cosωx，

3

sin

1

2

ωx)=1+sin(ωx+

π

6

)．由此能求出ω的值．
（2）由f(x)=1+sin(4x+

π

6

)，知當(dāng)0≤x≤

π

8

時(shí)，可得0≤4x≤

π

2

，

π

6

≤4x+

π

6

≤

2π

3

．由此能求出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，

π

8

]上的取值范圍．

解答：解：（1）依據(jù)題意，有f(x)=1+

u

•

v

=1+(

1

2

，sin(

π

2

+

1

2

ωx))•(cosωx，

3

sin

1

2

ωx)
=1+

1

2

cosωx+

3

cos

1

2

ωx•sin

1

2

ωx（3分）
=1+

1

2

cosωx+

3

2

sinωx
=1+sin(ωx+

π

6

)．                   　            （6分）
又ω＞0，函數(shù)的最小正周期T=

π

2

，∴ω=

2π

T

=4．　　　               （8分）
（2）由（1）可知，f(x)=1+sin(4x+

π

6

)．
當(dāng)0≤x≤

π

8

時(shí)，可得0≤4x≤

π

2

，

π

6

≤4x+

π

6

≤

2π

3

．（10分）
考察正弦函數(shù)的圖象，進(jìn)一步有

1

2

≤sin(4x+

π

6

)≤1，

3

2

≤1+sin(4x+

π

6

)≤2． （15分）
所以函數(shù)y=f(x)在[0，

π

8

]上的取值范圍是[

3

2

，2]．　　　　　　　　　　　（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的綜合運(yùn)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)知識(shí)的靈活運(yùn)用．