Question

函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2cos²x，（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)；
（2）若A為銳角三角形ABC的最大角，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的最小正周期和對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)；
（2）根據(jù)銳角三角形的性質(zhì)，確定A的取值范圍，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由條件，f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
根據(jù)公式，最小正周期T=

2π

2

=π，
對(duì)稱(chēng)中心橫坐標(biāo)x應(yīng)該滿足2x+

π

4

=kπ，即x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z，此時(shí)y=1，
所以對(duì)稱(chēng)中心為（

kπ

2

-

π

8

，1）．
（2）因?yàn)锳為銳角三角形ABC的最大角，所以A∈[

π

3

，

π

2

），
所以2A+

π

4

∈[

11π

12

，

5π

4

），由單調(diào)性，f（A）∈（0，

3 +1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．