Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）²，a是大于零的常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：曲線y=f（x）上存在一點P，使得曲線y=f（x）上總有兩點M，N，且成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）求函數(shù)的極值，先對原函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號，判出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而找出極值點；
（2）根據(jù)函數(shù)的增減性來求字母系數(shù)的取值范圍，可根據(jù)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的增減情況，推出其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的符號，是問題轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問題，進一步借助于二次函數(shù)圖象和二次不等式的關(guān)系來分析；
（3）曲線上存在一點P，可猜想P點很可能是一個特殊點，在求解（1）時涉及到兩個極值點，因向量方向問題，兩極值點不可能是P，所以可嘗試兩極值點的中點作為P點．
解答：解：（1）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，則f^′（x）=3x²-4ax+a²，當(dāng)a=1時，f^′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），令f^′（x）=0，得，f（x）在區(qū)間，，（1，+∞）上分別單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，于是當(dāng)x=時，有極大值；
當(dāng)x=1時有極小值f（1）=0．
（Ⅱ）f'（x）=3x²-4ax+a²，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)遞增，
則f^′（x）=3x²-4ax+a²≥0在x∈[1，2]上恒成立，當(dāng)時，即時，由f^′（1）=3-4a+a²≥0得0＜a≤1；
當(dāng)，即時，，無解；
當(dāng)，即a＞3時，由 f^′（2）=12-8a+a²≥0得a≥6．
綜上，當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)遞增時，0＜a≤1或a≥6．
（Ⅲ）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，f^′（x）=3x²-4ax+a²，
令f'（x）=0，得，
f（x）在區(qū)間，，（a，+∞）上分別單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
于是當(dāng)時，有極大值；
當(dāng)x=a時，有極小值f（a）=0．
記，B（a，0），AB的中點，
設(shè)M（x，y）是圖象任意一點，由，得，
因為=，
由此可知點N在曲線y=f（x）上，即滿足的點N在曲線C上．
所以曲線y=f（x）上存在一點P，使得曲線y=f（x）上總有兩點M，N，且成立．
點評：涉及二次以上函數(shù)的極值問題，求導(dǎo)是必選途徑；存在性問題的求證，往往需要大膽的猜想和假設(shè)．