Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是菱形，，BD＝2．

（1）若點E，F分別為線段PD，BC上的中點，求證：EF∥平面PAB；

（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且PD⊥PB，PD＝PB，求平面PAB與平面PBC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）取AP的中點為H，連接EH，HB，證明四邊形BFEH為平行四邊形得到答案.

（2）過A作AN⊥PB于點N，連接NC，AC，BD，設(shè)AC交BD于點O，確定則∠ANC 為二面角A﹣PB﹣C 的平面角，計算得到答案.

（1）取AP的中點為H，連接EH，HB；

由E，H分別為PD，PA的中點，則EH∥AD且；

又F為BC的中點，則BF∥AD且；

所以EH∥BF且EH＝BF，則四邊形BFEH為平行四邊形；

所以EF∥BH，又HB平面PAB；

所以EF∥平面PAB；

（2）過A作AN⊥PB于點N，連接NC，AC，BD，設(shè)AC交BD于點O，

在△PBD中O為AC的中點，PD＝PB，則PO⊥BD；

又平面PBD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD；

在△PBD中，PD⊥PB，BD＝2．則PD＝PB；

由題意有PA＝PC，AO＝2，，

在等腰三角形APB中，；

由△PAB≌△PCB，則CN⊥PB；CN＝AN

在△ACN中，；

故平面PAB與平面PBC所成的銳二面角的余弦值為．