Question

已知直線x=-1的方向向量為及定點(diǎn)F（1，0），動(dòng)點(diǎn)M，N，G滿足-=0，+=2，•（-）=0，其中點(diǎn)N在直線l上．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，若α+β=θ為定值（0＜θ＜π），試問(wèn)直線AB是否恒過(guò)定點(diǎn)，若AB恒過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，若AB不恒過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知：MN⊥l|MF|=|MN|，
由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，
其中F（1，0）為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線，
所以軌跡方程為y²=4x；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意得x₁≠x₂（否則α+β=π）且x₁•x₂≠0，
所以AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，
顯然，
聯(lián)立，消去x得到：，
由根與系數(shù)關(guān)系得：①
1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，tanα•tanβ=1，
所以，

所以y₁y₂=16，
由①知：，
所以b=4k因此直線AB的方程可表示為y=kx+4k，
∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（-4，0）
2）當(dāng)時(shí)，由α+β=θ，得=，
將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：，所以，
此時(shí)，直線AB的方程可表示為y=kx+，
∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)
∴當(dāng)時(shí)，AB恒過(guò)定點(diǎn)（-4，0），
當(dāng)時(shí)，．AB恒過(guò)定點(diǎn)
分析：（1）利用已知條件滿足的向量關(guān)系得到MN⊥l|MF|=|MN|，利用拋物線的定義判斷出M的軌跡是拋物線，根據(jù)拋物線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系寫(xiě)出拋物線的方程．
（2）設(shè)出直線AB的方程，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系，對(duì)θ分類討論，利用兩角和的正切公式及直線斜率的公式將α+β=θ轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，表示出直線方程中的截距b，得到直線方程恒過(guò)的定點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程問(wèn)題，一般利用待定系數(shù)法，注意橢圓中的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系與雙曲線中的三個(gè)參數(shù)關(guān)系的區(qū)別；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，一般將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理找突破口．