Question

對于定義域為A的函數f(x)，如果任意的x₁，x₂∈A，當x₁＜x₂時，都有f(x₁)＜f(x₂)，則稱函數f(x)是A上的嚴格增函數；函數f(k)是定義在N^*上，函數值也在N^*中的嚴格增函數，并且滿足條件f(f(k))＝3k.
(1)證明：f(3k)＝3f(k)；
(2)求f(3^k－1)(k∈N^*)的值；
(3)是否存在p個連續(xù)的自然數，使得它們的函數值依次也是連續(xù)的自然數；若存在，找出所有的p值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）2×3^k－1(k∈N^*)（3）存在p＝3^k－1＋1

(1)證明：對k∈N^*，f(f(k))＝3k，∴f[f(f(k))]＝f(3k)①
由已知f(f(k))＝3k，∴f[f(f(k))]＝3f(k)，②
由①、②∴f(3k)＝3f(k)
(2)若f(1)＝1，由已知f(f(k))＝3k得f(1)＝3，矛盾；
設f(1)＝a＞1，∴f(f(1))＝f(a)＝3，③
由f(k)嚴格遞增，即1＜a⇒f(1)＜f(a)＝3，
∴∴f(1)＝2，
由③f(f(1))＝f(a)＝3，故f(f(1))＝f(2)＝3.
∴f(1)＝2，f(2)＝3.
f(3)＝3f(1)＝6，f(6)＝f(3·2)＝3f(2)＝9，
f(9)＝3f(3)＝18，f(18)＝3f(6)＝27，
f(27)＝3f(9)＝54，f(54)＝3f(18)＝81.
依此類推歸納猜出：f(3^k－1)＝2×3^k－1(k∈N^*)．
下面用數學歸納法證明：
(1)當k＝1時，顯然成立；
(2)假設當k＝l(l≥1)時成立，即f(3^l－1)＝2×3^l－1，
那么當k＝l＋1時，f(3^l)＝f(3×3^l－1)＝3f(3^l－1)＝3×2×3^l－1＝2·3^l.猜想成立，由(1)、(2)所證可知，對k∈N^*f(3^k－1)＝2×3^k－1成立．
(3)存在p＝3^k－1＋1，當p個連續(xù)自然數從3^k－1→2×3^k－1時，函數值正好也是p個連續(xù)自然數從f(3^k－1)＝2×3^k－1→f(2×3^k－1)＝3^k.