Question

已知橢圓，直線L：4x-5y+40=0，若橢圓上的點到直線l的距離最小值為________．

Answer 1

分析：由直線l的方程與橢圓的方程可以知道，直線l與橢圓不相交，將直線l：4x-5y+40=0平移，使得其與橢圓相切，則可知切線與直線l的距離最小或最大，故設(shè)直線m平行于直線l，則直線m的方程可以寫成4x-5y+k=0與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式為0可求解．
解答：由直線l的方程與橢圓的方程可以知道，直線l與橢圓不相交，
設(shè)直線m平行于直線l，則直線m的方程可以寫成4x-5y+k=0 （1）
由方程組
消去y，得25x²+8kx+k²-225=0 （2）
令方程（2）的根的判別式△=0，得64k²-4×25（k²-225）=0 （3）
解方程（3）得k₁=25或k₂=-25，
∴當(dāng)k₁=25時，直線m與橢圓交點到直線l的距離最近，此時直線m的方程為4x-5y+25=0
直線m與直線l間的距離d===
故答案為：
點評：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將直線l：4x-5y+40=0平移，使得其與橢圓相切，屬基礎(chǔ)題．