設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點為F1=（-
3
，0），橢圓過點P（-
2
，
2
2
）
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點D（l，0），直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點，以DA和DB為鄰邊的四邊形是菱形，求k的取值范圍．
分析：（1）由題意知c=
3
，b2=a2-3，由
2
a2
+
1
2
a2-3
=1得2a4-11a2+12=0，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由
y=kx+m
x2
4
+y2=1
得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-1）=0．由△=64k2m2-16（4k2+1）（m2-1）=64k2-16m+16＞0，得4k2+1＞m2．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點為M（x0，y0），由韋達(dá)定理知x1+x2=-
8km
4k2+1
，x1•x2=
4(m2-1)
4k2+1
，于是x0=
-4km
4k2+1
，y0=k•
-4km
4k2+1
+m=
m
4k2+1
，M（
-4km
4k2+1
，
m
4k2+1
）．由此入手，能夠求出k的取值范圍．
解答：解：（1）由題意知c=
3
，b2=a2-3，由
2
a2
+
1
2
a2-3
=1得2a4-11a2+12=0，
所以（a2-4）（2a2-3）=0，得a2=4或a2=
3
2
＜c2（舍去），
因此橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1．（4分）
（2）由
y=kx+m
x2
4
+y2=1
得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-1）=0．
所以4k2+1＞0，△═64k2m2-16（4k2+1）（m2-1）=64k2-16m+16＞0，
得4k2+1＞m2．①（6分）
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點為M（x0，y0），則x1+x2=-
8km
4k2+1
，x1•x2=
4(m2-1)
4k2+1
，
于是x0=
-4km
4k2+1
，y0=k•
-4km
4k2+1
+m=
m
4k2+1
，
∴M（
-4km
4k2+1
，
m
4k2+1
）．
設(shè)菱形一條對角線的方程為y=-
1
k
（x-1），則有x=-ky+1．
將點M的坐標(biāo)代入，得-
4km
4k2+1
=
-km
4k2+1
+1，所以m=-
4k2+1
3k
．②（9分）
將②代入①，得4k2+1＞
(4k2+1)2
9k2
，
所以9k2＞4k2+1，解得k∈（-∽，
5
5
）∪（
5
5
，+∞）．（12分）
點評：本題考查橢圓方程的求法和求k的取值范圍．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．本題主要考查運(yùn)算能力，比較繁瑣，解題時要格外細(xì)心，避免出錯．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點，l與x軸的交點M到橢圓左準(zhǔn)線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設(shè)N與M關(guān)于原點O對稱，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點分別為F1F2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過A．Q．F2三點的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鹽城一模）設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過定點A（1，2），則橢圓的中心到準(zhǔn)線的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若P 是橢圓上的一點，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)過定點P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點，D為橢圓上異于A、B的點，求△ABD面積的最大值．

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同步練習(xí)冊答案