Question

【題目】已知A（﹣1，0），B（1，0）， = + ，| |+| |=4
（1）求P的軌跡E
（2）過軌跡E上任意一點P作圓O：x2+y2=3的切線l1 ， l2 ， 設直線OP，l1 ， l2的斜率分別是k0 ， k1 ， k2 ， 試問在三個斜率都存在且不為0的條件下， （ + ）是否是定值，請說明理由，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖因為 = + ，所以四邊形ACPB是平行四邊形，

所以| |=| |，

由| |+| |=4，得，| |+| |=4，

所以P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，a=2，c=1，b= ，

所以方程為 =1

（2）解：設P（x0，y0），過P的斜率為k的直線為y﹣y0=k（x﹣x0），

由直線與圓O相切可得 = ，即： ，

由已知可知k1，k2是方程 的兩個根，

所以由韋達定理：k1+k2= ，k1k2= ，

兩式相除： + = ，

又因為 =﹣ ，

代入上式可得， （ + ）=﹣ 為一個定值

【解析】（1）利用| |=| |，由| |+| |=4，得，| |+| |=4，即可求P的軌跡E；（2）所以由韋達定理：k1+k2= ，k1k2= ，兩式相除： + = ，即可得出結論．