分析 (1)運用向量的數(shù)量積的坐標表示,結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關系式,化簡計算即可得到所求值;
(2)運用向量共線坐標表示,求得tanθ=2,再由二倍角公式和兩角和的正弦公式,計算即可得到所求值.
解答 解:(1)由向量$\overrightarrow{a}$=(2,sinθ),$\overrightarrow$=(1,cosθ),θ∈(0,$\frac{π}{2}$),
可得$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=2+sinθcosθ=$\frac{7}{3}$,
即sinθcosθ=$\frac{7}{3}$-2=$\frac{1}{3}$,
則sinθ+cosθ=$\sqrt{(sinθ+cosθ)^{2}}$=$\sqrt{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ+2sinθcosθ}$
=$\sqrt{1+\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$;
(2)若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$,則2cosθ=sinθ,即tanθ=2,
sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{2sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{2tanθ}{1+ta{n}^{2}θ}$=$\frac{2×2}{1+{2}^{2}}$=$\frac{4}{5}$,
cos2θ=cos2θ-sin2θ=$\frac{co{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}$=$\frac{1-ta{n}^{2}θ}{1+ta{n}^{2}θ}$=$\frac{1-4}{1+4}$=-$\frac{3}{5}$,
則sin(2θ+$\frac{π}{3}$)=sin2θcos$\frac{π}{3}$+cos2θsin$\frac{π}{3}$
=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$+(-$\frac{3}{5}$)×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$.
點評 本題考查三角函數(shù)的求值,注意運用三角函數(shù)的恒等變換公式,同時考查向量的數(shù)量積和共線條件,考查運算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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