Question

如果存在常數(shù)a使得數(shù)列{a_n}滿足：若x是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)，則a-x也是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)，稱數(shù)列{a_n}為“兌換數(shù)列”，常數(shù)a是它的“兌換系數(shù)”．
（1）若數(shù)列：1，2，4，m（m＞4）是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”，求m和a的值；
（2）若有窮遞增數(shù)列{b_n}是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”，求證：數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Sn=

n

2

•a；
（3）已知有窮等差數(shù)列{c_n}的項(xiàng)數(shù)是n₀（n₀≥3），所有項(xiàng)之和是B，試判斷數(shù)列{c_n}是否是“兌換數(shù)列”？如果是的，給予證明，并用n₀和B表示它的“兌換系數(shù)”；如果不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)列：1，2，4，m（m＞4）是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”，可得a-m，a-4，a-2，a-1也是該數(shù)列的項(xiàng)，且a-m＜a-4＜a-2＜a-1，由此可求m和a的值；
（2）不妨設(shè)有窮數(shù)列{b_n}的項(xiàng)數(shù)為n，根據(jù)有窮數(shù)列{b_n}是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”，可得b_i+b_n+1-i=a（1≤i≤n），從而可得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和；
（3）證明對(duì)數(shù)列{c_n}中的任意一項(xiàng)c_i（1≤i≤n₀）a-ci=c1+(n0-i)d=cn0+1-i∈{cn}即可．

解答：（1）解：因?yàn)閿?shù)列：1，2，4，m（m＞4）是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”
所以a-m，a-4，a-2，a-1也是該數(shù)列的項(xiàng)，且a-m＜a-4＜a-2＜a-1----------（1分）
故a-m=1，a-4=2-------------------（3分）
即a=6，m=5．-------------------（4分）
（2）證明：不妨設(shè)有窮數(shù)列{b_n}的項(xiàng)數(shù)為n
因?yàn)橛懈F數(shù)列{b_n}是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”，所以a-b_n，a-b_n-1，…，a-b₁也是該數(shù)列的項(xiàng)，-----（5分）
又因?yàn)閿?shù)列{b_n}是遞增數(shù)列b₁＜b₂＜…＜b_n，且a-b_n＜a-b_n-1＜…＜a-b₁-------------------（6分）
則b_i+b_n+1-i=a（1≤i≤n）-------------------（8分）
故Sn=b1+b2+…+bn=

n

2

a-------------------（10分）
（3）解：數(shù)列{c_n}是“兌換數(shù)列”．證明如下：
設(shè)數(shù)列{c_n}的公差為d，因?yàn)閿?shù)列{c_n}是項(xiàng)數(shù)為n₀項(xiàng)的有窮等差數(shù)列
若c1≤c2≤c3≤…≤cn0，則a-c1≥a-c2≥a-c3≥…≥a-cn0
即對(duì)數(shù)列{c_n}中的任意一項(xiàng)c_i（1≤i≤n₀）a-ci=c1+(n0-i)d=cn0+1-i∈{cn}-------（12分）
同理可得：若c1≥c2≥c3≥…≥cn0，a-ci=c1+(n0-i)d=cn0+1-i∈{cn}也成立，
由“兌換數(shù)列”的定義可知，數(shù)列{c_n}是“兌換數(shù)列”；-------------------（14分）
又因?yàn)閿?shù)列{b_n}所有項(xiàng)之和是B，所以B=

(c1+cn0)•n0

2

=

a•n0

2

，即a=

2B

n0

-------------------（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查學(xué)生的閱讀能力，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．