Question

已知：函數(shù)f（x）=

2x+1

2x-1

，求：
（1）函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；
（3）求函數(shù)的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由分母不為0，即可解得定義域；
（2）先判斷定義域是否關于原點對稱，再計算f（-x），與f（x）比較，即可得到奇偶性；
（3）解出2^x=

1+y

y-1

，再由指數(shù)函數(shù)的值域解不等式，即可得到值域．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）=

2x+1

2x-1

，
則2x-1≠0，即有x≠0，
則定義域為{x|x≠0且x∈R}；
（2）函數(shù)f（x）在{x|x≠0且x∈R}上為奇函數(shù)．
理由如下：定義域關于原點對稱，
f（-x）=

2-x+1

2-x-1

=

1+2x

1-2x

=-f（x），
則f（x）是奇函數(shù)；
（3）由2^x=

1+y

y-1

，
由2^x＞0，即

1+y

y-1

＞0，
解得y＞1或y＜-1．
則值域為（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性及判斷，考查函數(shù)的定義域和值域的求法，考查運算能力，屬于中檔題．