Question

（本小題滿分12分）設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,離心率為2.

（Ⅰ）求此雙曲線的漸近線的方程；

（Ⅱ）若分別為上的點(diǎn)，且2|AB|=5|F1F2|，求線段的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）的軌跡方程為 則的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為的橢圓.

【解析】

試題分析：由離心率，得出漸近線方程；第二步設(shè)而不求，先設(shè)出，，的中點(diǎn)，利用已知條件，得出相應(yīng)的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)分別為上的點(diǎn)，坐標(biāo)滿足直線方程，兩式相加得，兩式相減得：，把和代入=10，另外利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出點(diǎn)的軌跡方程；

試題解析：（Ⅰ）由 ，雙曲漸近線方程為;

（Ⅱ）設(shè)，，的中點(diǎn)

∵∴,∴=10，又，兩式相加，兩式相減：，則，

,則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，∴，則的軌跡方程為

則的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為的橢圓.

考點(diǎn)：1.雙曲線的離心率與漸近線方程；2.求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程；