Question

（本題滿分15分）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，過(guò)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若過(guò)、、三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；

（Ⅲ）過(guò)的直線與（Ⅱ）中橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）橢圓的方程為；（Ⅲ）存在，直線的方程為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由，，由 ,可知為的中點(diǎn)，由此可得，，設(shè),知，， 由題意可知， ，即得，，進(jìn)一步計(jì)算可求出離心率的值. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，可求出的外接圓圓心為，即，半徑,所以再利用圓心到直線的距離等于半徑,可得到關(guān)于的方程，解出值，從而得到橢圓的方程.（Ⅲ）這是探索性命題，一般先假設(shè)存在，

可設(shè)，，由題異號(hào), 的內(nèi)切圓的面積最大，只需最大，此時(shí)也最大，而，所以可設(shè)直線的方程為,直線與橢圓方程聯(lián)立，消，再借助韋達(dá)定理來(lái)解決即可.

試題解析：（Ⅰ）由題，為的中點(diǎn)．

設(shè)，，則，，

由題，即，

即

（Ⅱ）由題外接圓圓心為斜邊的中點(diǎn)，半徑，

由題外接圓與直線相切

，即，即

，，故所求的橢圓的方程為

（Ⅲ）設(shè)，，由題異號(hào)．

設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則的周長(zhǎng)為，

，

因此要使內(nèi)切圓的面積最大，只需最大，此時(shí)也最大．

，

由題知，直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，

由得，

由韋達(dá)定理得 ，，（）

令，則，

當(dāng)時(shí)有最大值．此時(shí)，，

故的內(nèi)切圓的面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為

考點(diǎn)：橢圓的方程，離心率，直線與二次曲線位置關(guān)系.