Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=

x2+1，x∈[0，1) 1-x2，x∈[-1，0)

且f（x+2）=f（x），函數(shù)g（x）的表達式為g（x）=

x+3

x+2

，則方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-5，1]上的所有實數(shù)根之和為（　�。�

• A、-5
• B、-6
• C、-7
• D、-8

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，由y=f（x-2）-1和y=g（x-2）-1的函數(shù)式，得到它們都關(guān)于點（-2，1）對稱，由圖象讀出即可．

解答： 解：∵f（x）=

x2+1，x∈[0，1) 1-x2，x∈[-1，0)

且f（x+2）
=f（x），
∴f（x-2）-1=

x2，x-2∈[0，1) -x2，x-2∈[-1，0)

，
又g（x）=

x+3

x+2

，則g（x）=1+

1

x+2

，
g（x-2）-1=

1

x

，
故上述兩個函數(shù)都關(guān)于點（-2，1）對稱，方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-5，1]上的所有實數(shù)根，
即函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在[-5，1]上的交點的橫坐標，由圖象可得有3個交點，
設(shè)實根由小到大分別為x₁，x₂，x₃，且x₂=-3，x₁+x₃=-4．故所有實根之和為-7．
故選：C．

點評：本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．