Question

7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若AF⊥BF，設(shè)∠ABF=α，且
α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，則該橢圓離心率e的取值范圍為（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• B． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$-1]
• D． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]

Answer 1

分析 由橢圓的定義及對(duì)稱(chēng)性求得丨AF丨+丨BF丨=2a，利用直角三角形的性質(zhì)求得丨AF丨及丨BF丨，利用橢圓的離心率公式及正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，即可求得e的取值范圍．

解答 解：由已知，點(diǎn)B和點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)B也在橢圓上，
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F₁，則根據(jù)橢圓定義：丨AF丨+丨AF₁丨=2a=10，
根據(jù)橢圓對(duì)稱(chēng)性可知：丨AF₁丨=丨BF丨，因此丨AF丨+丨BF丨=2a=10①；
因?yàn)锳F⊥BF，則在Rt△ABF中，O為斜邊AB中點(diǎn)，則丨AB丨=2丨OF丨=2c，那么丨AF丨=2csinα②，丨BF丨=2ccosα③；
將②、③代入①得，2csinα+2ccosα=2a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，
由α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，α+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，
由sin$\frac{5π}{12}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
由函數(shù)的單調(diào)性可知：sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，1]，則e∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$-1]，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用定義域求三角函數(shù)的值域，離心率公式的應(yīng)用，屬于中檔題．