Question

數(shù)列a_n的前n項和為S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明數(shù)列a_n+3是等比數(shù)列，求出數(shù)列a_n的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=

n

3

an，求數(shù)列b_n的前n項和T_n；
（Ⅲ）判斷數(shù)列a_n中是否存在構(gòu)成等差數(shù)列的三項？若存在，求出一組符合條件的項；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)a_n+1=S_n+1-S_n，求得a_n+1=2a_n+3，整理可得

an+1+3

an+3

=2判斷出數(shù)列a_n+3是等比數(shù)列，進(jìn)而利用等比數(shù)列的通項公式求得a_n+3進(jìn)而求得a_n．
（Ⅱ）把（1）中的a_n代入b_n中，進(jìn)而利用錯位相減法和等差數(shù)列的求和公式求得前n項的和．
（Ⅲ）設(shè)存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差數(shù)列，根據(jù)等差中項的性質(zhì)可知2a_p=a_s+a_r，利用（1）中的a_n展開得2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，進(jìn)而根據(jù)2^p-s+1，2^r-s為偶數(shù)，而1+2^r-s為奇數(shù)，判斷出假設(shè)不成立．故可知不存在這樣的三項．

解答：解：（Ⅰ）因為S_n=2a_n-3n，所以S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
則a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，所以a_n+1=2a_n+3，

an+1+3

an+3

=2，
數(shù)列a_n+3是等比數(shù)列，a₁=S₁=3，a₁+3=6，a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
所以a_n=3•2ⁿ-3．
（Ⅱ）bn=

n

3

an=n•2n-n，T_n=2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ-（1+2++n），
令T_n^′=2+2•2²+3•2³++n•2ⁿ，①2T_n^′=2²+2•2³+3•2⁴++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得，-T_n^′=2+2²++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=-2（1-2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹，T_n^′=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
所以Tn=(n-1)•2n+1+2-

1

2

n(n+1)．
（Ⅲ）設(shè)存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差數(shù)列，則2a_p=a_s+a_r，即2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3
即2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，2^p-s+1，2^r-s為偶數(shù)，而1+2^r-s為奇數(shù)，
所以2^p+1=2^s+2^r不成立，故不存在滿足條件的三項．

點評：本題主要考查了數(shù)列的求和問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．