Question

若一個(gè)正三棱柱的底面邊長為2，高為2，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（　　）

• A．

  16

  3

  π
• B．

  19

  12

  π
• C．

  28

  3

  π
• D．

  7

  3

  π

Answer 1

分析：根據(jù)正三棱柱的對(duì)稱性，它的外接球的球心在上下底面中心連線段的中點(diǎn)．再由正三角形的性質(zhì)和勾股定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出外接球半徑R=

21

3

，用球表面積公式即可算出該球的表面積．

解答：解：設(shè)三棱柱ABC-A'B'C'的上、下底面的中心分別為O、O'，
根據(jù)圖形的對(duì)稱性，可得外接球的球心在線段OO'中點(diǎn)O₁，
∵OA=

3

3

AB=

2 3

3

，OO₁=

1

2

AA'=1
∴O₁A=

OO12+OA2

=

4 3 +1

=

21

3

因此，正三棱柱的外接球半徑R=

21

3

，可得該球的表面積為S=4πR²=

28

3

π
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出所有棱長均為2的正三棱柱，求它的外接球的表面積，著重考查了正三棱柱的性質(zhì)、球的內(nèi)切外接性質(zhì)和球的表面積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．