已知橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
16
=1．
（Ⅰ）求橢圓C的長軸長及離心率；
（Ⅱ）已知M為橢圓C的左頂點(diǎn)，直線l過（1，0）且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（不與M重合）．求證：∠AMB＞90°（或者證明△AMB是鈍角三角形）
考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）由橢圓C的方程，確定橢圓的幾何量，即可求橢圓C的長軸長及離心率；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積，可得
MA
•
MB
＜0恒成立，∠AMB為鈍角，即可得到結(jié)論．
解答： （Ⅰ）解：橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
16
=1，a=4，b=2，c=2
3
，
∴橢圓C的長軸長為8，離心率e=
c
a
=
3
2
；
（Ⅱ）證明：（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，AA（1，2
3
），B（1，-2
3
），
MA
•
MB
=-3＜0．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
由直線l的方程代入橢圓方程消去y得：（4+k2）x2-2k2x+k2-16=0．
則x1+x2=
2k2
4+k2
，x1x2=
k2-16
4+k2
，
∴
MA
•
MB
=（x1+2）（x2+2）+k（x1-1）k（x2-1）=
-3k2
4+k2
＜0
綜上，
MA
•
MB
＜0恒成立，∠AMB為鈍角．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用特征性質(zhì)描述法表示：由北京一個(gè)城市構(gòu)成的集合．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
9
=1（a＞0）的一條漸近線方程為3x+2y=0，點(diǎn)A為雙曲線C的右頂點(diǎn)，圓O的方程為x2+y2=1．
（1）求a的值；
（2）點(diǎn)M為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過M引圓O的切線MN（N為切點(diǎn)），若
MN
MA
=
2
，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（0，1）且離心率為
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若斜率為1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=
8
5
，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，試判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}，a1=2，a4=16．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在梯形ABCD中，AD⊥CD，AB∥CD，AD=CD=
1
2
AB=a，平面ACEF⊥平面ABCD，四邊形ACEF是矩形，AE=a，點(diǎn)M在線段EF上．
（1）求證：AM⊥BC；
（2）若
EM
=
1
3
EF
，求二面角B-AM-D的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知矩陣A=
10
0
1
2
，則矩陣A的逆矩陣為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：a≠0，f（x）=x3+ax2-a2x-1，g（x）=ax2-x-1，若y=f（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，則a的范圍為
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案