Question

2．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ），$（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的最小正周期為π，且圖象關(guān)于x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱．
（1）求ω和φ的值；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象上所有橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，再向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間以及g（x）≥1的x取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由圖象的對(duì)稱性求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，利用正弦函數(shù)的圖象求得g（x）≥1的x取值范圍．

解答 解：（1）由已知可得$\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2，
又f（x）的圖象關(guān)于$x=\frac{π}{3}$對(duì)稱，
∴$2•\frac{π}{3}+φ=kπ+\frac{π}{2}$，∴$φ=kπ-\frac{π}{6}$，∵$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$，∴$φ=-\frac{π}{6}$．
（2）由（1）可得$f（x）=2sin（{2x-\frac{π}{6}}）$，
∵將函數(shù)f（x）的圖象上所有橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，
再向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，∴$g（x）=2sin（{\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}}）$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$4kπ-\frac{π}{3}≤x≤4kπ+\frac{5π}{3}$，
故g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{4kπ-\frac{π}{3}，4kπ+\frac{5π}{3}}]$，k∈Z．
由g（x）≥1，可得$sin（{\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}}）≥\frac{1}{2}$，∴$2kπ+\frac{π}{6}≤\frac{1}{2}x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{5π}{6}$，
∴$4kπ-π≤x≤4kπ+\frac{7π}{3}$，k∈Z，
即要求的x的取值范圍為{x|$4kπ-π≤x≤4kπ+\frac{7π}{3}$，k∈Z  }．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由圖 象的對(duì)稱性求出φ的值；y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，解關(guān)于三角函數(shù)的不等式，屬于中檔題．