Question

已知直線y=x與函數(shù)和圖象交于點Q，P、M分別是直線y=x與函數(shù)的圖象上異于點Q的兩點，若對于任意點M，PM≥PQ恒成立，則點P橫坐標的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意可得點Q（，），設M（a，），且 a＞0，a≠，設P（b，b），則由PM≥PQ恒成立，可得
b≤++．由基本不等式可得 ++＞2，故 b≤2，由此求得點P橫坐標b的取值范圍．
解答：解：∵直線y=x與函數(shù)和圖象交于點Q，∴點Q（，）．
由于 P、M分別是直線y=x與函數(shù)的圖象上異于點Q的兩點，
設M（a，），且 a＞0，a≠，設P（b，b），則由PM≥PQ恒成立，
可得 （b-a）²+≥+ 恒成立，化簡可得 （2a+-4）b≤a²+-4．
由于a＞0，a≠時，故（2a+-4）＞0，且 a²+-4＞0，由不等式可得
b≤==•=•
=•=++．
即 b≤++．
由a＞0，a≠，利用基本不等式可得++＞2，故 b≤2．
再由題意可得，b≠，故點P橫坐標b的取值范圍是 ∪（，2]．
故答案為 ∪（，2]．
點評：本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，基本不等式的應用，式子變形是解題的難點和關鍵，屬于中檔題．