Question

一走廊拐角下的橫截面如圖所示，已知內(nèi)壁FG和外壁BC都是半徑為1m的四分之一圓弧，AB，DC分別與圓弧BC相切于B、C兩點(diǎn)，EF∥AB，GH∥CD，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1m．
（1）若水平放置的木棒MN的兩個(gè)端點(diǎn)M、N分別在外壁CD和AB上，且木棒與內(nèi)壁圓弧相切于點(diǎn)P．設(shè)∠CMN=θ（rad），試用θ表示木棒MN和長度f（θ）．
（2）若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長度的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖，設(shè)圓弧FG所在的圓的圓心為Q，過Q點(diǎn)作CD垂線，垂足為點(diǎn)T，且交MN或其延長線與于S，并連接PQ，再過N點(diǎn)作TQ的垂線，垂足為W．在Rt△NWS中用NW和∠SNW表示出NS，在Rt△QPS中用PQ和∠PQS表示出QS，然后分別看S在線段TG上和在線段GT的延長線上分別表示出TS=QT-QS，然后在Rt△STM中表示出MS，利用MN=NS+MS求得MN的表達(dá)式和f（θ）的表達(dá)式．
（2）設(shè)出sinθ+cosθ=t，則sinθcosθ可用t表示出，然后可得f（θ）關(guān)于t的表達(dá)式，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)t的范圍判斷出導(dǎo)函數(shù)小于0推斷出函數(shù)為減函數(shù)．進(jìn)而根據(jù)t的范圍求得函數(shù)的最小值．
解答：解：（1）如圖，設(shè)圓弧FG所在的圓的圓心為Q，過Q點(diǎn)作CD垂線，垂足為點(diǎn)T，且交MN或其延長線與于S，并連接PQ，再過N點(diǎn)作TQ的垂線，垂足為W．
在Rt△NWS中，因?yàn)镹W=2，∠SNW=θ，
所以．
因?yàn)镸N與圓弧FG切于點(diǎn)P，所以PQ⊥MN，
在Rt△QPS，因?yàn)镻Q=1，∠PQS=θ，
所以，，
①若M在線段TD上，即S在線段TG上，則TS=QT-QS，
在Rt△STM中，，
因此MN=NS+MS=．
②若M在線段CT上，即若S在線段GT的延長線上，則TS=QS-QT，
在Rt△STM中，，
因此MN=NS-MS==．
f（θ）=MN===．
（2）設(shè)，則，
因此．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213604514934629/SYS201310232136045149346018_DA/14.png">，又，所以g′（t）＜0恒成立，
因此函數(shù)在是減函數(shù)，所以，
即．
答：一根水平放置的木棒若能通過該走廊拐角處，則其長度的最大值為．
點(diǎn)評：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，基本的運(yùn)算能力．