已知函數(shù)y=f(x)=loga(1-ax)(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定義域、值域;
(2)證明f(x)在定義域上是減函數(shù).
解:(1)由1-a
x>0,得a
x<1.(1分)
當(dāng)a>1時,x<0;(2分)
當(dāng)0<a<1時,x>0.(3分)
所以f(x)的定義域是當(dāng)0<a<1時,x∈(0,+∞);當(dāng)a>1時,x∈(-∞,0).(4分)
又當(dāng)a>1時,x<0,?1>1-a
x>0,?log
a(1-a
x)<0,即函數(shù)的值域為(-∞,0).
當(dāng)時,x>0,?1>1-a
x>0,?log
a(1-a
x)>0,即函數(shù)的值域為(0,+∞).
所以f(x)的值域是,當(dāng)0<a<1時,y∈(0,+∞);當(dāng)a>1時,y∈(-∞,0).
(2)當(dāng)0<a<1時,任取x
1、x
2∈(0,+∞),且x
1<x
2,(5分)
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/81671.png)
,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/487884.png)
.(6分)
因為0<a<1,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/487885.png)
,即f(x
1)>f(x
2).(8分)
故當(dāng)0<a<1時,f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).(9分)
同理,當(dāng)a>1時,任取x
1、x
2∈(-∞,0),且x
1<x
2,(10分)
可得當(dāng)a>1時,f(x)在(-∞,0)上也是減函數(shù).(14分).
分析:(1)由1-a
x>0,得a
x<1 下面分類討論:當(dāng)a>1時,x<0;當(dāng)0<a<1時,x>0即可求得f(x)的定義域及值域;
(2)先對a值進行分類討論:當(dāng)a>1時,當(dāng)0<a<1時,再任取x
1、x
2屬于集合范圍之內(nèi),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的定義討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
點評:本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)的定義域值域、不等式的解法等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.