Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點C、F，連接CF并延長交AB于點E．

(Ⅰ)求證：E是AB的中點。

(Ⅱ)求線段BF的長．

 

Answer 1

(Ⅰ) 見解析；(Ⅱ) a

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 由以D為圓心DA為半徑作圓，而ABCD為正方形，所以DA⊥AE，所以EA為圓D的切線，依據(jù)切割線定理，得EA2=EF•EC，又圓O以BC為直徑，所以O(shè)B⊥BE，所以EB是圓O的切線，同樣依據(jù)切割線定理得EB2=EF•EC，故AE=EB，E是AB中點．

(Ⅱ)根據(jù)兩個角對應(yīng)相等，得到兩個三角形相似，得到對應(yīng)邊成比例，根據(jù)所給的長度，代入比例式，得到要求的線段。

試題解析：(Ⅰ) 由以D為圓心DA為半徑作圓，而ABCD為正方形，∴EA為圓D的切線，

依據(jù)切割線定理，得EA2=EF•EC （2分）

另外圓O以BC為直徑，∴EB是圓O的切線，

同樣依據(jù)切割線定理得EB2=EF•EC （4分）

故AE=EB，故E是AB中點 （5分）

(Ⅱ)連接BF，∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB

∴△FEB∽△BEC，得，

∵ABCD是邊長為a的正方形，

所以BF＝a （10分）

考點：切割線定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，弦切角定理