Question

已知平面上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）及兩個(gè)定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），直線PA，PB的斜率分別為K₁，K₂且K₁K₂=-

1

4

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C方程；
（2）設(shè)直線L：y=kx+m與曲線 C交于不同兩點(diǎn)，M，N，當(dāng)OM⊥ON時(shí)，求O點(diǎn)到直線L的距離（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直接由直線PA，PB的斜率乘積等于-

1

4

列式求解；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，再由OM⊥ON，得到兩線段對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積等于0，列式求得k與m的關(guān)系，然后由點(diǎn)到直線的距離公式整體計(jì)算求得O點(diǎn)到直線L的距離．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），由已知得

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

，
整理得x²+4y²=4，即

x2

4

+y2=1（x≠±2）；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，消去y得：（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0．
由△=（8km）²-4（4k²+1）（4m²-4）＞0，得4k²+1-m²＞0．
x1+x2=-

8km

4k2+1

，x1x2=

4m2-4

4k2+1

，
∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=(1+k2)x1•x2+km(x1+x2)+m2=0，
∴(1+k2)•

4m2-4

4k2+1

+km•(-

8km

4k2+1

)+m2=0．
∴m2=

4

5

(k2+1)，滿足4k²+1-m²＞0．
∴O點(diǎn)到l的距離為d=

|m|

1+k2

，即d2=

m2

1+k2

=

4

5

．
∴d=

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，這是處理這類問題的最為常用的方法，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想方法，是高考試卷中的壓軸題．