Question

正方體ABCD—EFGH的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)P在AC上，Q在BG上，AP=BQ=a．

(1)求直線PQ與平面ABCD所成角的正切值；

(2)求證：PQ⊥AD．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：作PM上BC于M，連QM， ∵AB⊥BC，∴PM∥AB，于是． ∵AP=BQ， ∴GQ=CP,這樣可得， ∴QM∥GC． ∴GC⊥平面AC，∴QM⊥平面AC， ∠QPM是PQ與平面AC所成的角， QM=BQ=a,MP=CP=(a-a) =a， ∴tanQPM==． (2)證明：上面已證MP∥AB，QM∥GC，而AB⊥BC，QM⊥BC， ∴BC⊥MP，且BC⊥QM， ∴BC⊥平面PQM，因此BC⊥PQ，由AD∥Bc可知PQ⊥AD． 點(diǎn)評(píng)：(1)中求直線PQ與平面ABCD所成角的正切值的過程是“作、證、算”，即先作出∠QPM，然后再證明∠QPM是PQ與平面ABCD所成角，最后再計(jì)算其正切值．(2)中證PQ⊥AD，由于BC∥AD，于是就把證PQ⊥AD的問題轉(zhuǎn)化成了證明PQ⊥BC的問題．