Question

已知f（x）=（x∈R）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；
（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=的兩個(gè)非零實(shí)根為x₁、x₂．試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)數(shù)大于等于零列出不等式解之
（Ⅱ）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系寫出不等式先看成關(guān)于a的不等式恒成立再看成關(guān)于t的一次不等式恒成立，讓兩端點(diǎn)大等于零
解答：解：（Ⅰ）f'（x）==，
∵f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f'（x）≥0對(duì)x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0對(duì)x∈[-1，1]恒成立．①
設(shè)φ（x）=x²-ax-2，
方法一：φ
①??-1≤a≤1，
∵對(duì)x∈[-1，1]，f（x）是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f'（-1）=0以及當(dāng)a=-1時(shí)，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．方法二：
①?或
?0≤a≤1或-1≤a≤0
?-1≤a≤1．
∵對(duì)x∈[-1，1]，f（x）是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f'（-1）=0以及當(dāng)a=-1時(shí)，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．
（Ⅱ）由，得x²-ax-2=0，∵△=a²+8＞0
∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩非零實(shí)根，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
從而|x₁-x₂|==．
∵-1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3．
要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)m²+tm+1≥3對(duì)任意t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm-2≥0對(duì)任意t∈[-1，1]恒成立．②
設(shè)g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），
方法一：
②?g（-1）=m²-m-2≥0，g（1）=m²+m-2≥0，
?m≥2或m≤-2．
所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}．
方法二：
當(dāng)m=0時(shí)，②顯然不成立；
當(dāng)m≠0時(shí)，
②?m＞0，g（-1）=m²-m-2≥0或m＜0，g（1）=m²+m-2≥0
?m≥2或m≤-2．
所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力．