Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若，求函數(shù)的極小值；

（Ⅲ）若存在實數(shù)使在區(qū)間且上有兩個不同的極值點，求的最小值.

Answer 1

Ⅰ）;（Ⅱ）的極小值為;（Ⅲ）3.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）,由題意可得在上恒成立；，                

即，求得函數(shù)在的最小值即可；     

（Ⅱ）當(dāng)時，，求得令，解得或（舍），即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，的極小值為；    

（Ⅲ）原題等價于在且上有兩個不等的實數(shù)根；由題意可知，即在上有兩個不等實根，令，在上有兩個不等實根，根據(jù)二次函數(shù)根的分別列出不等式組，即可求出的最小值. 

試題解析：（Ⅰ）,由題意可得在上恒成立；

∴，                

∵，∴，                    

∴時函數(shù)的最小值為，

∴                                          

 （Ⅱ）  當(dāng)時，

                     

令得，

解得或（舍），即            

當(dāng)時，，當(dāng)時，

∴的極小值為         

（Ⅲ）原題等價于在且上有兩個不等的實數(shù)根；

由題意可知      

即在上有兩個不等實根.          

令，

∵，根據(jù)圖象可知：

，整理得                   -

即，解得，

∴的最小值為.