已知函數(shù)．

(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，求實數(shù)的取值范圍；

(2)當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

(3)求證：．（，為自然對數(shù)的底數(shù)）

 

【答案】

(1) 實數(shù)的取值范圍為;(2) 的取值范圍為;(3) 見解析.

【解析】

試題分析：(1)先利用導數(shù)求出函數(shù)在處取得唯一的極值，因為函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，故；（2）根據(jù)條件可得，然后令，求出的最小值，即可解得的范圍；（3）由（2）的結論可得，令，則有，分別令，則有

將這個不等式左右兩邊分別相加可得.

試題解析：（1）函數(shù)定義域為，，

由，當時，，當時，，

則在上單增，在上單減，函數(shù)在處取得唯一的極值。

由題意得，故所求實數(shù)的取值范圍為     4分

 (2) 當時，不等式．       6分

令，由題意，在恒成立。

令，則，當且僅當時取等號。

所以在上單調遞增，

因此，則在上單調遞增，

所以，即實數(shù)的取值范圍為                  9分

（3）由（2）知，當時，不等式恒成立，

即，              11分

令，則有．

分別令，則有，

將這個不等式左右兩邊分別相加，則得

故，從而．      14分

考點：1.利用導數(shù)求函數(shù)的極值；2.利用函數(shù)單調性解參數(shù)范圍；3.對數(shù)式的運算性質；4.不等式證明.

 

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(本小題滿分12分)

已知函數(shù)，

(1)    若，，且的定義域是[– 1，1]，P（x1，y1），Q（x2，y2）是其圖象上任意兩點（），設直線PQ的斜率為k，求證：；

(2)    若，且的定義域是，．

求證：．

 

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（滿分14分）已知函數(shù)．

(1)若,求a的取值范圍；

(2)證明：．

 

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1．   (本小題滿分13分)

已知函數(shù)．

(1)  若在x = 0處取得極值為 – 2，求a、b的值；

(2)  若在上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

 

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