已知函數(shù)．

(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，求實數(shù)的取值范圍；

(2)當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

(3)求證：．（，為自然對數(shù)的底數(shù)）

 

【答案】

(1) 實數(shù)的取值范圍為;(2) 的取值范圍為;(3) 見解析.

【解析】

試題分析：(1)先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在處取得唯一的極值，因為函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，故；（2）根據(jù)條件可得，然后令，求出的最小值，即可解得的范圍；（3）由（2）的結(jié)論可得，令，則有，分別令，則有

將這個不等式左右兩邊分別相加可得.

試題解析：（1）函數(shù)定義域為，，

由，當時，，當時，，

則在上單增，在上單減，函數(shù)在處取得唯一的極值。

由題意得，故所求實數(shù)的取值范圍為     4分

 (2) 當時，不等式．       6分

令，由題意，在恒成立。

令，則，當且僅當時取等號。

所以在上單調(diào)遞增，

因此，則在上單調(diào)遞增，

所以，即實數(shù)的取值范圍為                  9分

（3）由（2）知，當時，不等式恒成立，

即，              11分

令，則有．

分別令，則有，

將這個不等式左右兩邊分別相加，則得

故，從而．      14分

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；2.利用函數(shù)單調(diào)性解參數(shù)范圍；3.對數(shù)式的運算性質(zhì)；4.不等式證明.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)．(1)若在時取得極值，求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間； (3)求證：當時，．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2014屆江西省高三第三次月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)：

(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求實數(shù)的取值范圍；

(2)問：是否存在常數(shù)，當時，的值域為區(qū)間，且的長度為.

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2010年重慶市高二上學期期中考試理科數(shù)學卷 題型：解答題

(本小題滿分12分)

已知函數(shù)，

(1)    若，，且的定義域是[– 1，1]，P（x1，y1），Q（x2，y2）是其圖象上任意兩點（），設(shè)直線PQ的斜率為k，求證：；

(2)    若，且的定義域是，．

求證：．

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2010年山東省高二下學期期末考試理科數(shù)學卷 題型：解答題

（滿分14分）已知函數(shù)．

(1)若,求a的取值范圍；

(2)證明：．

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：重慶市2009-2010學年度下期期末考試高二數(shù)學試題（文科） 題型：解答題

 

1．   (本小題滿分13分)

已知函數(shù)．

(1)  若在x = 0處取得極值為 – 2，求a、b的值；

(2)  若在上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案