橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個焦點F1（-c，0）、F2（c，0），M是橢圓C上一點，且滿足∠F1MF2=
π
3
．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；（2）設O為坐標原點，P是橢圓C上的一個動點，試求t=
|PF1-PF2|
|OP|
的取值范圍．
（1）在△MF1F2中，MF12+MF22-2MF1•MF2cos∠F1MF2=4c2
即：（MF1+MF2）2-3MF1•MF2=4c2
即：4a2-3MF1•MF2=4c2，則3MF1•MF2=4a2-4c2MF1•MF2≤(
MF1+MF2
2
)2=a2，當且僅當MF1=MF2=a時，取等號
∴4a2-4c2≤3a2，即a2≤4c2
∴e2≥
1
4
即e∈[
1
2
，1)（5分）
（2）令OP=m，則m∈[b，a]（10分）
又PF1+PF2=2a
在三角形O與三角形O中分別用余弦定理表示出PF12與PF22兩式相加可得：PF12+PF22=2m2+2c2
則（PF1-PF2）2=4（m2+c2-a2）
∴t=
2
m2+c2-a2
m
=2
1-
a2-c2
m2

∵m∈[b，a]，∴
a2-c2
a2
≤
a2-c2
m2
≤
a2-c2
b2

即0≤1-
a2-c2
m2
≤
c2
a2
，
∴t的取值范圍是0≤t≤
2c
a
．     （16分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一條斜率為1的直線l與離心率e=
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q兩點，直線l與y軸交于點R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直線l和橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直角坐標系xoy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A1，A2，上、下頂點為B2，B1，點P（
3
5
a，m）（m＞0）是橢圓C上一點，PO⊥A2B2，直線PO分別交A1B1、A2B2于點M、N．
（1）求橢圓離心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求橢圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，設R點是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點，F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點，RQ平分∠F1RF2且與y軸交于點Q，求點Q縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
，過橢圓C上一點P（2，1）作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于點A、B，直線AB與x軸交于點M，與y軸負半軸交于點N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左焦點為F1（-1，0），右焦點為F2（1，0），短軸兩個端點為A、B．與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標．
（3）當弦MN的中點P落在△MF1F2內(nèi)（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點的坐標分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）設橢圓的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．

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