【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（2）討論的單調(diào)性；

（3）設(shè)、為曲線上的任意兩點(diǎn)，并且，若恒成立，證明：.

【答案】（1）；（2）若， 在上遞增；若，時(shí)，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）將代入可得函數(shù)解析式,求得導(dǎo)數(shù)并代入求得切線的斜率.將代入函數(shù)可得切點(diǎn)坐標(biāo),由點(diǎn)斜式即可求得切線方程.

（2）先求得導(dǎo)函數(shù),對(duì)分類討論,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可判斷單調(diào)性.

（3）根據(jù)恒成立及（2）中函數(shù)單調(diào)性的討論,可求得.代入函數(shù)并結(jié)合不等式即可得.利用定義作差,得,化簡(jiǎn)后即可證明.

（1）當(dāng)時(shí),,

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得,

∴,又,

∴曲線在處的切線方程為：；

（2）求導(dǎo)得,

若,,在上遞增；

若,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.

（3）由（2）知,若,在上遞增,

又,故不恒成立.

若,當(dāng)時(shí),遞減,,不合題意.

若,當(dāng)時(shí),遞增,,不合題意.

若,在上遞增,在上遞減,,合題意.

故,且（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.

設(shè),,

∴,

因此,

即

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列命題中真命題的序號(hào)為(少填或錯(cuò)填均不得分)______.若一個(gè)球的半徑縮小為原來(lái)的一半，則其體積縮小為原來(lái)的八分之一；②若兩組數(shù)據(jù)的平均值相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等；③直線與圓相切；④若兩個(gè)平面都垂直于同一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)計(jì)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，使一個(gè)事件的概率與某個(gè)未知數(shù)有關(guān)，然后通過(guò)重復(fù)試驗(yàn)，以頻率估計(jì)概率，即可求得未知數(shù)的近似解，這種隨機(jī)試驗(yàn)在數(shù)學(xué)上稱為隨機(jī)模擬法，也稱為蒙特卡洛法。比如要計(jì)算一個(gè)正方形內(nèi)部不規(guī)則圖形的面積，就可以利用撒豆子，計(jì)算出落在不規(guī)則圖形內(nèi)部和正方形內(nèi)部的豆子數(shù)比近似等于不規(guī)則圖形面積與正方形面積比，從而近似求出不規(guī)則圖形的面積．

統(tǒng)計(jì)學(xué)上還有一個(gè)非常著名的蒲豐投針實(shí)驗(yàn)：平面上間隔的平行線，向平行線間的平面上任意投擲一枚長(zhǎng)為的針，通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)可以近似求出針與任一平行線（以為例）相交（當(dāng)針的中點(diǎn)在平行線外不算相交）的概率．以表示針的中點(diǎn)與最近一條平行線的距離，又以表示與所成夾角，如圖甲，易知滿足條件：，．

由這兩式可以確定平面上的一個(gè)矩形，如圖乙，在圖甲中，當(dāng)滿足___________（與，之間的關(guān)系）時(shí)，針與平行線相交（記為事件）．可用從實(shí)驗(yàn)中獲得的頻率去近似，即投針次，其中相交的次數(shù)為，則，歷史上有一個(gè)數(shù)學(xué)家親自做了這實(shí)驗(yàn)，他投擲的次數(shù)是5000，相交的次數(shù)為2550次，，，依據(jù)這個(gè)實(shí)驗(yàn)求圓周率的近似值_________．（精確到3位小數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】數(shù)列滿足：對(duì)一切，有，其中是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，稱數(shù)列上有界（有上界），并稱是它的一個(gè)上界，對(duì)一切，有，其中是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，稱數(shù)列下有界（有下界），并稱是它的一個(gè)下界.一個(gè)數(shù)列既有上界又有下界，則稱為有界數(shù)列，常值數(shù)列是一個(gè)特殊的有界數(shù)列.設(shè)，數(shù)列滿足，，.

（1）若數(shù)列為常數(shù)列，試求實(shí)數(shù)、滿足的等式關(guān)系，并求出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）下面四個(gè)選項(xiàng)，對(duì)一切實(shí)數(shù)，恒正確的是.（寫(xiě)出所有正確選項(xiàng)，不需要證明其正確，但需要簡(jiǎn)單說(shuō)明一下為什么不選余下幾個(gè)）

A. 當(dāng)時(shí)， B. 當(dāng)時(shí)，

C. 當(dāng)時(shí)， D. 當(dāng)時(shí)，

（3）若，，且數(shù)列是有界數(shù)列，求的值及的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸正半軸且單位長(zhǎng)度相同的極坐標(biāo)系中曲線，（為參數(shù)）.

（Ⅰ）求曲線上的點(diǎn)到曲線距離的最小值；

（Ⅱ）若把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都擴(kuò)大原來(lái)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)擴(kuò)大原來(lái)的倍，得到曲線，設(shè)，曲線與交于，兩點(diǎn)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的極值；

（2）設(shè)函數(shù)．若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)雙曲線 的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線分別交雙曲線左右兩支于點(diǎn)M，N.若以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且，則雙曲線的離心率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)E，F分別在，，且，.設(shè).

（1）當(dāng)時(shí)，求異面直線與所成角的大小；

（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的部分圖象如圖所示，，當(dāng)，時(shí)，則的最大值為_________.

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