Question

在區(qū)間D上，如果函數f（x）為增函數，而函數

1

x

f(x)為減函數，則稱函數f（x）為“弱增”函數．已知函數f(x)=1-

1

1+x

．
（1）判斷函數f（x）在區(qū)間（0，1]上是否為“弱增”函數；
（2）設x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，證明|f(x2)-f(x1)|＜

1

2

|x2-x1|；
（3）當x∈[0，1]時，不等式1-ax≤

1

1+x

≤1-bx恒成立，求實數a，b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）顯然f（x）在區(qū)間（0，1]為增函數，化簡

1

x

f(x)的解析式為

1

1+x+ 1+x

，顯然是減函數，可得f（x）在區(qū)間（0，1]為“弱增”函數．
（2）化簡|f（x₂）-f（x₁）|的解析式為

|x2-x1|

1+x2 1+x1 ( 1+x2 + 1+x1 )

，由，即可證得命題成立．
（3）當x∈（0，1]時，不等式等價于：

a≥ 1 x f(x) b≤ 1 x f(x)

，由

1

x

f(x)為減函數，可得1-

2

2

≤

1

x

f(x)＜

1

2

，從而求得實數a，b的取值范圍．

解答：解：（1）顯然f（x）在區(qū)間（0，1]為增函數，
∵

1

x

f(x)=

1

x

(1-

1

1+x

)=

1

x

1+x -1

1+x

=

1

x

x

1+x ( 1+x +1)

=

1

1+x+ 1+x

，
∴

1

x

f(x)為減函數．∴f（x）在區(qū)間（0，1]為“弱增”函數．
（2）|f(x2)-f(x1)|=|

1

1+x2

-

1

1+x1

|=

| 1+x1 - 1+x2 |

1+x2 1+x1

=

|x2-x1|

1+x2 1+x1 ( 1+x2 + 1+x1 )

，
∵x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，

1+x2

1+x1

(

1+x2

+

1+x1

)＞2，
∴|f（x₂）-f（x₁）|＜

1

2

|x2-x1|．
（3）∵當x∈[0，1]時，不等式1-ax≤

1

1+x

≤1-bx恒成立． 當x=0時，不等式顯然成立．
當x∈（0，1]時．等價于：

a≥ 1 x f(x) b≤ 1 x f(x)

，
由（1）

1

x

f(x)為減函數，1-

2

2

≤

1

x

f(x)＜

1

2

，∴a≥

1

2

，b≤1-

2

2

．

點評：本題考查函數的單調性的判斷和證明，不等式的證明，體現了分類討論的數學思想，得到當x∈（0，1]時．等價于：

a≥ 1 x f(x) b≤ 1 x f(x)

，是解題的難點．