如圖所示,在四棱錐S-ABCD中,,四邊形ABCD為矩形,
的中點,且AD=SD=2,DC=3
(1)求證:
(2)求異面直線AD、EF所成角的余弦值
(3)四棱錐S-ABCD有外接球嗎?若有,求出外接球的表面積;若沒有,請說明理由.
解:(1)設SD的中點為G,連結GF、AG,則可知GF∥DC且GF=CD
又E為AB的中點,故AE∥DC,AE=CD
∴GF∥AE,且GF=AE
所以四邊形AEFG為平行四邊形,故EF∥AG 2分
又EF平面SAD,AG
平面SAD
∴EF平面SAD 4分
(2)由(1)知,EF∥AG,所以GAD為異面直線
所成角或其補角 6分
∵,故SD
DA
在RtGDA中,AD=2,GD=1,故GA=
∴OSGAD=
,
即異面直線所成角的余弦值為
8分
(3)∵DS、DA、DC兩兩垂直,所以可知DB為四棱錐的外接球的直徑
又DC=
∴S==
,即四棱錐S-ABCD外接球的表面積為
12分
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(12分)如圖所示,在四棱錐S-ABCD中,側棱SA=SB=SC=SD,低面ABCD是正方形,AC與交于點O,
(1)求證:AC⊥平面SBD;
(2)當點P在線段MN上移動時,試判斷EP與AC的位置關系,并證明你的結論。
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如圖所示,在四棱錐S―ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠BAD=∠ABC= 90°,SA=AB=AD=BC=1,E為SD中點.
(1)若F為底面BC邊上一點,且BF=BC,求證:EF//平面SAB;
(2)底面BC邊上是否存在一點G,使得二面角S―DG―B的正切值為,若存在,求出G點位置;若不存在,說明理由.
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