設{an}是等差數列,從{a1,a2,…,a20}中任取3個不同的數,使這3個數仍成等差數列,則這樣不同的等差數列的個數最多有________個.
180
分析:設新數列的公差為m,當確定了m,如果再確定了第一項,則第二和第三項也就確定了,因此只考慮如何選擇第一項.列舉當m=d時,a19和a20不能做第一項,能做第一項的有18種結果,以此類推得到共有的數列數,再有把數列的公差變化為列舉的公差的相反數,又有90個數列,相加得到結果.
解答:設新數列的公差為m,原來數列的公差是d,當確定了m,如果再確定了第一項,
則第二和第三項也就確定了,因此只考慮如何選擇第一項.
m=d時,a19和a20不能做第一項,能做第一項的有18種結果,
m=2d,a17至a20不能做第一項,有16種結果,
m=3d,a15至a20不能做第一項,有14種結果,
m=4d,a13至a20不能做第一項,有12種結果,
m=5d,a11至a20不能做第一項,有10種結果,
以此類推m=9d,a3至a20不能做第一項,有2種結果,
當m大于9d,則不能選出滿足題意的數列.
∴總共個數=2+4+6+8+…+18=90,
當數列的公差與列舉的公差互為相反數時,又有90個結果,
∴共有90+90=180
故答案為:180.
點評:本題考查等差數列的性質,考查利用排列組合解決實際問題,考查分類計數原理的應用,本題是一個綜合題目,這種題目分類的情況比較多,是一個易錯題.