定義：若函數(shù)f(x)對于其定義域內(nèi)的某一數(shù)x0都有f(x0)＝x0，則稱x0是f(x)的一個不動點．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．

(Ⅰ)當(dāng)a＝1，b＝－2時，求函數(shù)f(x)的不動點；

(Ⅱ)若對任意的實數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個不動點，求a的取值范圍；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，若y＝f(x)圖象上兩個點A、B的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點，且A、B兩點關(guān)于直線y＝kx＋對稱，求b的最小值．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)x2－x－3＝x，化簡得：x2－2x－3＝0，解得：x1＝－1，或x2＝3

　　所以所求的不動點為－1或3．　4分

　　(Ⅱ)令ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x，則ax2＋bx＋b－1＝0�、�

　　由題意，方程①恒有兩個不等實根，所以△＝b2－4a(b－1)＞0，

　　即b2－4ab＋4a＞0恒成立，　6分

　　則b2－4ab＋4a＝(b－2a)2＋4a－4a2＞0，故4a－4a2＞0，即0＜a＜1　8分

　　(Ⅲ)設(shè)A(x1，x1)，B(x2，x2)(x1≠x2)，則kAB＝1，∴k＝－1，

　　所以y＝－x＋，　9分

　　又AB的中點在該直線上，所以＝－＋，

　　∴x1＋x2＝，

　　而x1、x2應(yīng)是方程①的兩個根，所以x1＋x2＝－，即－＝，

　　∴　12分

　　

　　∴當(dāng)a＝∈(0，1)時，bmin＝－1．　14分


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011屆江蘇省南京市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷 題型：填空題

定義：若函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過變換T后所得圖像對應(yīng)的函數(shù)與f(x)的值域相同，則稱變換T是f(x)的同值變換。下面給出了四個函數(shù)與對應(yīng)的變換：
（1）f(x)="(x-1)2," T1將函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱；
（2）f(x)=2x-1-1，T2將函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于x軸對稱；
（3）f(x)= ，T3將函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(-1,1)對稱；
（4）f(x)=sin(x+)，T4將函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(-1,0)對稱。
其中T是f(x)的同值變換的有_______。(寫出所有符合題意的序號)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年浙江省高三第一次月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在D上也可導(dǎo)，則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記，若在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在(0，)上是凸函數(shù)的是_____    ___．(把你認(rèn)為正確的序號都填上)

① f(x)＝sin x＋cos x；  ② f(x)＝ln x－2x；

③ f(x)＝－x3＋2x－1； ④ f(x)＝xex．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年湖北省高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué) 題型：填空題

給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f′(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo)，則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在(0，)上不是凸函數(shù)的是________ (把你認(rèn)為正確的序號都填上)

①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省高三第一次摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：填空題

給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f′(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo)，則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在(0，)上不是凸函數(shù)的是________．(把你認(rèn)為正確的序號都填上)

①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.

 

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定義：若函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過變換T后所得圖像對應(yīng)的函數(shù)與f(x)的值域相同，則稱變換T是f(x)的同值變換。下面給出了四個函數(shù)與對應(yīng)的變換：

（1）f(x)=(x-1)2, T1將函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱；

（2）f(x)=2x-1-1，T2將函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于x軸對稱；

（3）f(x)= ，T3將函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(-1,1)對稱；

（4）f(x)=sin(x+)，T4將函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(-1,0)對稱。

其中T是f(x)的同值變換的有_______。(寫出所有符合題意的序號)

 

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