Question

如圖，平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=．
（Ⅰ）求證：AC⊥BF；
（Ⅱ）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）在△ACD中利用余弦定理，計(jì)算出AD²=4=CD²+AC²，所以AC⊥CD，結(jié)合AB、CD互相平行，得AC⊥AB，再結(jié)合AC⊥AF，得到AC⊥平面ABF，從而有AC⊥BF；
（II）根據(jù)題意，可得多面體ABCDEF的體積是四棱錐D-ACEF體積的2倍，由面面垂直的性質(zhì)可得DC為四棱錐D-ACEF的高，根據(jù)錐體體積公式算出四棱錐D-ACEF體積，即可得到多面體ABCDEF的體積．
解答：解（Ⅰ）∵AB=1，AD=2，∠ADC=60°，
∴由余弦定理，得AC²=CD²+AD²+CD•ADcos60°=3
于是 AD²=4=CD²+AC²，∴AC⊥CD，
∵AB∥CD，∴AC⊥AB…（2分）
又∵四邊形ACEF是矩形，∴AC⊥AF
∵AB∩AF=A，AB、AF⊆平面ABF
∴AC⊥平面ABF
又∵BF⊆平面ABF，∴AC⊥BF；（6分）
（Ⅱ）令多面體ABCDEF的體積為V，
∴V=V_D-ACEF+V_B-ACEF=2V_D-ACEF …（8分）
又∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF=AC，DC⊥AC，
∴DC⊥平面ACEF，可得DC為四棱錐D-ACEF的高，…（10分）
∵S_矩形ACEF=×=，∴V_D-ACEF=××1=
∴V=2V_D-ACEF=，即多面體ABCDEF的體積為．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出矩形的一邊是平行四邊形的一條對(duì)角線，矩形所在平面與平行四邊形所在平面互相垂直，求證線線垂直并求多面體的體積．考查了空間幾何體的線、面位置關(guān)系用相關(guān)量的運(yùn)算，屬于中等題．