Question

（2008•閘北區(qū)二模）等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1+

2

，S3=9+3

2

．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n與前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）設(shè)bn=an-

2

(n∈N*)，{b_n}中的部分項(xiàng)bk1，bk2，…bkn恰好組成等比數(shù)列，且k₁=1，k₄=63，求數(shù)列{k_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)cn=

Sn

n

(n∈N*)，求證：數(shù)列{c_n}中任意相鄰的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題目條件建立首項(xiàng)和公差的方程組，解之即可求出首項(xiàng)和公差，從而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n與前n項(xiàng)和S_n；
（II）由（Ⅰ）得，b_n=2n-1，再由已知得等比數(shù)列{bkn}的公比，可建立k_n的解析式；
（III）由（Ⅰ）得cn=

Sn

n

=n+

2

(n∈N*)，假設(shè)數(shù)列中存在相鄰三項(xiàng)c_n，c_n+1，c_n+2（n∈N^*）成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)建立等式關(guān)系，找出矛盾，從而可求證得數(shù)列{c_n}中任意相鄰的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．

解答：解：（Ⅰ）由已知得

a1= 2 +1 3a1+3d=9+3 2

，∴d=2，…（3分）
故an=2n-1+

2

，Sn=n(n+

2

)．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=2n-1，…（1分）
再由已知得，等比數(shù)列{bkn}的公比q3=

b63

b1

=125，…（2分）
∴q=5…（2分）∴2k_n-1=5^n-1⇒∴kn=

1

2

(5n-1+1)…（2分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得cn=

Sn

n

=n+

2

(n∈N*)．…（1分）
假設(shè)數(shù)列中存在相鄰三項(xiàng)c_n，c_n+1，c_n+2（n∈N^*）成等比數(shù)列，
則c_n+1²=c_nc_n+2，即(n+1+

2

)2=(n+

2

)(n+2+

2

)．…（2分）
推出1=0矛盾．所以數(shù)列{b_n}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列．…（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的求和和新數(shù)列的判定，屬于中檔題．