Question

在△ABC中，已知3a=2b+c，sin²A=sinBsinC，試判斷△ABC的形狀

1. A.
   直角三角形
2. B.
   鈍角三角形
3. C.
   等腰三角形
4. D.
   等邊三角形

Answer 1

D
分析：把已知的等式sin²A=sinBsinC利用正弦定理化簡(jiǎn)，表示出a，代入3a=2b+c中，兩邊平方后分解因式，得到4b-c=0或b-c=0，當(dāng)4b-c=0時(shí)，表示出c，代入a²=bc中，可得a=2b，進(jìn)而得到a+b＜c，不能構(gòu)成三角形，舍去，故b-c=0，可得b=c，代入a²=bc中，可得出a=b=c，進(jìn)而確定出三角形為等邊三角形．
解答：把sin²A=sinBsinC利用正弦定理化簡(jiǎn)得：a²=bc，
可得a=，代入3a=2b+c得：3=2b+c，
兩邊平方得：9bc=4b²+4bc+c²，即（4b-c）（b-c）=0，
當(dāng)4b-c=0，即4b=c時(shí)，a²=4b²，可得a=2b，
∴a+b=2b+b=3b，c=4b，即a+b＜c，不能構(gòu)成三角形，舍去，
∴b-c=0，即b=c，
此時(shí)a²=bc=c²，即a=b=c，
則△ABC為等邊三角形．
故選D
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識(shí)有：正弦定理，三角形的兩邊之和大于第三邊，以及等邊三角形的判定，靈活運(yùn)用正弦定理是解本題的關(guān)鍵．