已知數(shù)列{an}，an≥0，a1＝0，an+12＋an+1－1＝an2(n∈N*)．記：

Sn＝a1＋a2＋…＋an．．

求證：當(dāng)n∈N*時，

(Ⅰ)an＜an+1；

(Ⅱ)Sn＞n－2；

(Ⅲ)Tn＜3．

答案：
解析：

　　本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明等基礎(chǔ)知識和基本技能，同時考查邏輯推理能力．滿分14分．

　　(Ⅰ)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明．

　　①當(dāng)時，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1522/0022/d839a528b302a5bf179d2bcda18ce6b0/C/Image258.gif" width=17 height=24>是方程的正根，所以．

　�、诩僭O(shè)當(dāng)時，，

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1522/0022/d839a528b302a5bf179d2bcda18ce6b0/C/Image263.gif" width=61 height=25>，

　　所以．

　　即當(dāng)時，也成立．

　　根據(jù)①和②，可知對任何都成立．

　　(Ⅱ)證明：由，()，

　　得．

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1522/0022/d839a528b302a5bf179d2bcda18ce6b0/C/Image275.gif" width=41 height=24>，所以．

　　由及得，

　　所以．

　　(Ⅲ)證明：由，得

　　，

　　所以，

　　于是，

　　故當(dāng)時，，

　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1522/0022/d839a528b302a5bf179d2bcda18ce6b0/C/Image287.gif" width=73 height=24>，

　　所以．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
a□1-1
2
+
a2-1
22
+…+
an-1
2n
=n2+n(n∈N*)．
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（II）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a 1=
2
5
，且對任意n∈N*，都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2
．
（1）求證：數(shù)列{
1
an
}為等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=an•an+1，Tn=b1+b2+b3+…+bn，求證：Tn＜
4
15
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a 1=
2
5
，且對任意n∈N+，都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2
．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=an•an+1，Tn=b1+b2+b3+…+bn，求證：Tn＜
4
15
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a n+an+1=
1
2
(n∈N+)，a 1=-
1
2
，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2013=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}:,,,…,,…,其中a是大于零的常數(shù),記{an}的前n項(xiàng)和為Sn,計(jì)算S1,S2,S3的值,由此推出計(jì)算Sn的公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

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