已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，⊙M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切，過原點(diǎn)O作傾斜角為的直線n，交l于點(diǎn)A，交⊙M于另一點(diǎn)B，且AO=OB=2．
（1）求⊙M和拋物線C的方程；
（2）過l上的動(dòng)點(diǎn)Q向⊙M作切線，切點(diǎn)為S，T，求證：直線ST恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】分析：（1）根據(jù)=OA•cos60°可求出p的值，從而求出拋物線方程，求出圓心和半徑可求出⊙M的方程；
（2）以點(diǎn)Q為圓心，QS為半徑作⊙Q，則線段ST即為⊙Q與⊙M的公共弦，求出⊙Q的方程，可得ST的方程，從而可求定點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：（1）解：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191219351110669/SYS201310241912193511106019_DA/1.png">=OA•cos60°=2×=1，即p=2，所以拋物線C的方程為y2=4x
設(shè)⊙M的半徑為r，則r=，所以⊙M的方程為（x-2）2+y2=4；
（2）證明：以點(diǎn)Q為圓心，QS為半徑作⊙Q，則線段ST即為⊙Q與⊙M的公共弦
設(shè)點(diǎn)Q（-1，t），則QS2=QM2-4=t2+5，
所以⊙Q的方程為（x+1）2+（y-t）2=t2+5
從而直線ST的方程為3x-ty-2=0（*）
因?yàn)閤=，y=0一定是方程（*）的解，所以直線ST恒過一個(gè)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的方程和拋物線方程，考查直線恒過定點(diǎn)問題，確定ST是⊙Q與⊙M的公共弦是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4且位于x軸上方的點(diǎn)． A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（Ⅲ）以M為圓心，4為半徑作圓M，點(diǎn)P（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試討論直線AP與圓M的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，A為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，過A作拋物線準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q．
（1）若點(diǎn)P（0，4）與點(diǎn)F的連線恰好過點(diǎn)A，且∠PQF=90°，求拋物線方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）在x軸上，若要使∠MAF總為銳角，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2Px（p＞0）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+b（k≠0）與拋物線C交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0），求證：a2=
16(1-kb)k2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=4x，點(diǎn)M（m，0）在x軸的正半軸上，過M的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）若m=1，且直線l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；
（II）問是否存在定點(diǎn)M，不論直線l繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動(dòng)，使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=8x與點(diǎn)M（-2，2），過C的焦點(diǎn)，且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若
MA
•
MB
=0，則k=（　�。�

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